Sousedé

Prostředí:

Sousedé

V prostředí Sousedé žáci procvičují početní operace (sčítání, odčítání). Během řešení úloh např. metodou pokus – omyl vypočítají množství úloh, při nichž pracují s aditivními triádami (tři čísla, jedno z nich je součtem zbylých dvou, např. 2 3 5, 7 5 2, 3 3 6 atd.). Také se postupně učí metodu pokus – omyl vylepšovat. Tím se učí optimalizovat svou strategii řešení. Hlavním cílem prostředí je ale získávat zkušenosti s jevem periodicity, které zúročí v dalším studiu matematiky (např. goniometrické funkce,…). Úlohy tohoto prostředí zasahují i do dalších oblastí matematiky, konkrétně např. kombinatoriky.

1. ročník

Se žáky se ještě před zavedením prostředí Sousedé pracuje s mnohými úlohami zaměřenými na různé rytmy. Hlavní didaktický cíl prostředí, jev periodicity, totiž s rytmem úzce souvisí. Zde je uvedeno několik úloh. Žáci mají za úkol doplnit další pole dané řady. V první úloze navíc mají rytmus čísel procesualizovat, v tomto případě vytleskat.

Dalšími přípravnými úlohami jsou úlohy, ve kterých žáci pracují nejdříve s pojmem dvě sousední čísla - sčítají čísla vedle sebe. Tím se připravují na pojem tři sousední čísla.

V následující přípravné úloze se již objevuje i periodicita. V řádce se opakují čtveřice čísel, tím je způsobeno, že se opakují i jejich součty (v horním řádku 10, 7, 10, 7,…, v dolním řádku 8, 9, 8, 9,…).

Prostředí Sousedé je uvedeno následující úlohou.


Úloha 1:

Cílem je doplnit chybějící čísla tak, aby součet každých tří sousedních čísel byl 7. Právě idiom „každá tři sousední čísla“ může žákům činit potíže. Proto je vhodné situaci dramatizovat. Např. se ve třídě vytvoří řada žáků a každý určí svého souseda. Tím si žáci upevní, co je myšleno pojmem soused, kdo vytváří trojici sousedů atd. Pak žáci mohou pracovat i s kartičkami s čísly z učebnicové úlohy.
V úloze jsou známá dvě čísla vedle sebe. Navíc jsou i graficky vizualizovány součty jednotlivých sousedních trojic. Proto není většinou obtížné pro žáky úlohu vyřešit.


Úloha 2:

V další úloze jsou dána dvě čísla ob jedno políčko. Ani tyto úlohy nebývají pro žáky obtížné. Číslo mezi dvěma známými čísly zjistí odčítáním, dopočítáním (7 a kolik je 9), nebo metodou pokus-omyl.


Úloha 3:

Úloha zdánlivě nepřináší nic nového. Známá čísla jsou hned vedle sebe. Obtížnost pro některé žáky ale může být způsobena tím, že zde není již graficky vyjádřen součet tří sousedních čísel.


Úloha 4:

Úloha je náročnější oproti předchozím. Pokud žáci neobjevili to, že se čísla pravidelně opakují, mohou mít s řešením potíže. Najdou, že třetí číslo bude 7, a vyzkouší, zda se má umístit vlevo nebo vpravo od 2 nebo 0. Pokud to tak je, je důležité dávat těmto žákům další úlohy, například s delší řadou okének, aby mohli pravidelnost objevit. Pokud myšlenku již objevili, nejspíše řeknou: „2 bude i těsně před 0, pak je to již jasné.“

Zobrazit řešení

Úloha 1:


Úloha 2:


Úloha 3:


Úloha 4:

2. ročník

Úloha 5:

Úloha má stejnou myšlenku jako úloha 4. Pro učitele to může být dobrá diagnostika, jestli žák periodicitu čísel objevil. Pokud ne, úlohu asi bude řešit pokusem – omylem a bude mu déle trvat. Ale každá taková zkušenost je pro něj cenná. V momentě, kdy žák periodicitu objevil a používá ji v takových typech úloh, úloha se pro něj stává procvičováním početních operací.


Úloha 6:

Úlohy nejsou pouze v lineární struktuře (v řadě), ale mohou se i různě modifikovat (zatáčet). S žáky se udělá domluva, že za sousední trojice čísel jsou považovány pouze trojice „svislé“ a „vodorovné“. Neboli součet tří čísel „přes roh“ již nemusí být stejný.


Úloha 7:


Úloha 8:

Nově se objevují úlohy s další podmínkou. Kromě daného součtu tří sousedních polí, je dán i součet čtyř nebo více (popřípadě všech) polí. Nový typ úloh v prostředí Sousedé sleduje další cíle. Především jde o objevování strategie, jak úlohy řešit. Jiným cílem je
kombinatorika.

Starší žáci, nebo dospělý matematik by možná uchopili úlohu pomocí vyjádření jazykem písmen:


Podmínka o součtu všech čísel nám dává: x + y + 3 – x – y + x = 5. Z toho x = 2. Takové řešení ale lze očekávat až na druhém stupni. V této fázi očekáváme řešení metodou pokus – omyl, kterou žáci budou postupně optimalizovat, vylepšovat.
Žák s dobrým vhledem do situace může říct: „Součet tří sousedních čísel je 3, součet všech čtyř čísel je 5. Proto na kraji musí být 2 (= 5 – 3). Číslo 2 musí být i na druhém kraji (zkušenosti s periodou). “
Pak již zbývá vyřešit, jak ze dvou prostředních čísel složit 2. Jsou dvě možnosti - 0 1 a 1 0. Tím se do úloh dostávají kombinatorické situace.


Úloha 9:


Úloha 10:

Úloha a) má jednoznačné řešení. Úloha b) zdánlivě také. Přesto se našli i žáci, kteří tvrdili, že úloha má nekonečně mnoho řešení. Použili totiž záporná čísla. Prostředí Sousedé je strukturální (pracuje s čísly a zákonitostmi mezi nimi), to mj. umožňuje rozšíření číselného oboru – v tomto případě na záporná čísla. Pokud některý žák navrhne řešení se záporným číslem, je zřejmé, že již rozumí zápornému číslu jako abstraktnímu číslu. Dosud to bývá vázáno na představu krokování dozadu, nebo představu jisté značky na krokovacím pásu s čísly (adresy).


Úloha 11:

Vzdálenost mezi danými čísly se prodlužuje. Žáci, kteří již objevili periodicitu a umí ji využít k řešení úloh, řeknou: „2 bude od první 2 vždy v každém třetím poli.“ Pokud periodicitu ještě neobjevili, nevadí, použijí metodu pokus – omyl a plní cíl mnohého počítání. Mohou zkoušet čísla 0, 1, 2, nebo 3.


Úloha 12:

Pokud se při řešení neopustí obor přirozených čísel, úloha má dvě řešení. Žáci se učí v této úloze argumentaci. Vyzveme je, aby zdůvodnili, že řešení jsou právě dvě. Řeknou např. „V pravém horním poli může být 0, 1, nebo 2, protože jinak by součet v posledním sloupci byl větší než 6.“ Vyzkoušením těchto tří variant zjistí, že vyhovují dvě řešení (poslední je se zápornými čísly).

Zobrazit řešení

Úloha 5:


Úloha 6:


Úloha 7:


Úloha 9:


Úloha 10: 

(v úloze b) je i jedno řešení se zápornými čísly):


Úloha 11:


Úloha 12:

3. ročník

Úloha 13:


Žáci znovu mohou použít výše uvedenou myšlenku, nyní jen s větším počtem polí. Jestliže například poslední tři čísla řady dávají součet 11, první dvě musí dávat součet 5. V úloze a) proto v prvním poli musí být 2 atd.


Úloha 14:

Úloha mimo již zmíněných myšlenek zasahuje do oblasti kombinatoriky. Žáci díky předchozím zkušenostem objeví, že pokud je součet tří sousedních polí 18, musí být součet dvou zbývajících 6.

Protože není zadáno žádné číslo, jde vlastně o úlohu „Kolika způsoby jde rozložit číslo 6 na dva sčítance.“


Úloha 15:

Některá čísla žáci doplní okamžitě podle součtu tří sousedních čísel. Pokud se v úloze bude počítat pouze s přirozenými čísly, má úloha celkem 5 řešení. Např. levé horní pole může nabývat hodnot 0, 1,
2, 3, 4. Pokud žáci vyzkouší všechny možnosti, zjistí, že postupně se součty zvětšují o 1 (pro 0 je součet 50, pro 1 je součet 51, pro 2 je 52, pro 3 je 53, pro 4 je 54). To je může vést k závěru, že součet
všech čísel je 50 + doplněné číslo do levého horního rohu. Je to hezká ukázka toho, jak z konkrétních situací žáci dokážou objevit zákonitost obecnou.
Na druhém stupni by šlo uchopit úlohu algebraicky. Do levého horního pole umístit např. písmeno x a vyjádřit zbylá pole tabulky. To by vedlo ke stejnému závěru, že součet čísel je 50 + x, akorát již
v abstraktním jazyku.

Pozn. Pokud bychom povolili i další číselné obory, úloha by měla nekonečně mnoho řešení. Čím větší by bylo např. levé horní číslo, tím větší by byl součet všech čísel tabulky.

Zobrazit řešení

Úloha 13:


Úloha 14:


Úloha 15: