Prostředí:
Ciferník
Ciferník je jednoduchou pomůckou. Primárně je určen k určování
času, ale můžeme jej využít pro další aktivity v matematice.
Prostředí:
Od orientace v čase k modulární aritmetice či úhlům
Řeknu-li, že dnes je pátek 25. 9. 2015, má tento údaj dva typy informací. Rok 2015 je v časovém sledu jen jeden. Vloni byl rok 2014, příští rok bude 2016 a za 50 let se bude psát 2065. Je-li dnes 25. září, nebude za 10 dní 35. září, ale 5. října. Zde se čísla opakují v jistých cyklech. Nejpřesnější cyklus je na hodinách – ciferníku.
Ciferník je jednoduchou pomůckou. Primárně je určen k určování času, ale můžeme jej využít pro další aktivity v matematice. Zatímco na číselné ose po čísle 12 následuje číslo 13, na ciferníku po čísle 12 následuje číslo 1. Toto zvláštní počítání přináší do chápání aritmetiky důležitý impulz. Jednotlivá čísla po obvodu ciferníku jsou pravidelně rozmístěna, což umožňuje konstruovat různé obrazce. Tedy další impulz, tentokrát pro geometrii.
V mateřské škole se s cyklem může dítě seznámit na dnech týdne, na obrázcích ročních období, která lze dobře znázornit ve čtvrtinách kruhu. Když např. pro jaro zvolíme zelený podklad, pro léto žlutý s velkým sluníčkem, pro podzim podklad do hnědo-červena a pro zimu podklad světle modrý, můžeme ještě uvnitř čtvrtkruhů odstíny tónovat pro jednotlivé měsíce.
Některé měsíce mají svá specifika – září, kdy vidíme děti jít do školy, listopad, kdy padá listí, prosinec s vánočním stromečkem – nebo nám pro výběr obrázku k danému měsíci pomůže básnička či říkanka.
Úloha 1: Pět dětí stojí v kruhu a předávají si hračku. Kolikrát dojde k předání, než se hračka znovu dostane k prvnímu dítěti? Hračka se předala 6× – které dítě ji teď drží?
Úloha 1:
a) 5 předání.
b) Dítě, které je na 2. místě.
Ciferník můžeme používat nejen k určování času, ale i k seznamování žáků se základními geometrickými tvary. Při využití vhodné pomůcky (viz díl o Geoboardu) jsou tvary relativně přesné – odpadá nutnost přesně rýsovat nebo vystřihovat. Gumička napnutá mezi kolíky zajišťuje konstrukci přesných hranic objektů i manipulativně méně obratným dětem. Takto můžeme tvořit obrazce, které se pomocí tradičního rýsovacího nářadí obtížně konstruují – pravidelný dvanáctiúhelník či rovnoramenný lichoběžník vznikne zcela spontánně propojením vhodných kolíků.
Geometrické obrazce můžeme evidovat pomocí názvů vrcholů/čísel. Tak např. vytvoříme rovnostranný trojúhelník (4, 8, 12) nebo obdélník (1, 3, 7, 9). Uvedené úlohy propojují geometrii (tvary) a aritmetiku (čísla). V tomto období řešíme úlohy především pomocí fyzického modelu, ale můžeme již také využívat ciferník narýsovaný na papíru.
Úloha 2: Na ciferníku vytvoř čtverec tak, aby součet čísel ve všech jeho vrcholech byl co nejmenší/největší.
Úloha 3: Rozděl ciferník jednou rovnou čarou (přímkou) tak, aby v obou částech byl po sečtení čísel stejný výsledek.
Úloha 4: Rozděl ciferník a) dvěma, b) pěti rovnými čarami tak, aby součet v každém poli byl stejný.
Úloha 2: Nejmenší součet: 1, 4, 7, 10. Největší součet: 3, 6, 9, 12.
Úloha 3: Rovnou čarou rozdělíme ciferník tak, že v jedné části budou čísla 10, 11, 12, 1, 2, 3, ve druhé zbylá, tedy 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Úloha 4:
a) V jedné části budou čísla 11, 12, 1, 2, ve druhé části 10, 9, 3, 4 a ve třetí 8, 7, 6 a 5.
b) V jedné části bude 12 a 1, dále 11 a 2, 10 a 3, 9 a 4, 8 a 5, 7 a 6.
V ciferníkové aritmetice 11 + 2 = 1, neboť když je teď 11 hodin, tak za 2 hodiny bude 1 hodina. Podobně pak 1 – 2 = 11.
Úloha 5: Zkontroluj správnost rovností v ciferníkové aritmetice. Oprav chyby, hledej více řešení:
a) 8 + 7 = 3,
b) 9 + 4 = 12,
c) 6 + 12 = 6,
d) 1 – 8 = 3,
e) 5 – 7 = 10,
f) 2 · 7 = 2,
g) 4 · 4 = 4,
h) 5 · 5 = 5.
Úloha 6: Doplň scházející číslo tak, aby v ciferníkové aritmetice platila rovnost, hledej více řešení.:
a) + 7 = 4,
b) – 3 = 6,
c) 2 · = 2,
d) 3 · + 1 = 7.
Úloha 7: Pokaždé, když malá ručička postoupí o jednu hodinu, ozve se gong. Gong se ozval poprvé v pondělí v jednu hodinu odpoledne. Teď právě zazněl po 64. Jaký je dnes den a kolik je hodin?
Úloha 8: Ciferník trpasličích hodin je rozdělen na sedm stejných částí. Jsou na něm čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7. Po čísle 7 tedy následuje číslo 1. Řešte úlohu 6 na trpasličím ciferníku.
Úloha 5: Správné úlohy: a), c), e), f), g). Chybné úlohy: b), d), h).
Následující chybné rovnosti lze opravit třemi způsoby – uvedeno v závorce.
b) 9 + 4 = 12 (9 + 4 = 1, 9 + 3 = 12, 8 + 4 = 12);
d) 1 – 8 = 3 (1 – 8 = 5, 1 – 10 = 3, 11 – 8 = 3);
h) 5 · 5 = 5 (5 · 5 = 1, 5 · 12 = 5, 12 · 5 = 5).
Úloha 6: Varianta a) i b) má jediné řešení, a to číslo 9 (9 + 7 = 4; 9 – 3 = 6). Varianta c) má dvě řešení: 2 · 1 = 2 a také 2 · 7 = 2, varianta d) má tři řešení: 3 · 2 + 1 = 7; 3 · 6 + 1 = 7; 3 · 10 + 1 = 7.
Úloha 7: 64 : 24 = 2 (16), tedy uběhnou dva dny a 16 hodin, čili je čtvrtek 4 hodiny ráno.
Úloha 8: Každá z úloh má jediné řešení 4 + 7 = 4, 2 – 3 = 6, 2 · 1 = 2, 3 · 2 + 1 = 7
Úloha 9: V ciferníkové aritmetice s 12 čísly nemá rovnice 2 · x = 3 řešení. Zjistěte, jaké je třeba zvolit číslo n, aby rovnice n · x = 3 měla alespoň jedno řešení.
Na ciferníku je možné zkoumat i úhly.
Úloha 10: O jaký úhel se velká ručička otočí za:
a) 5 min, b) 20 min, c) 45 min?
Úloha 11: Kolik minut uplyne, když se velká ručička hodin otočí o:
a) 60°, b) 90°, c) 150°?
Úloha 12: Kolik hodin uplyne, když se malá ručička hodin otočí o:
a) 60°, b) 90°, c) 150°?
Úloha 13: Na obrázku je pravidelný dvanáctiúhelník ABCDEFGHIJKL. Zjistěte velikosti úhlů.
a) LCF, b) LBF, c) LEF, d) LSB, e) LSA, f) LDH, g) LFB.
Úloha 9: n je liché.
Úloha 10:
a) 30°; b) 120°; c) 270°.
Úloha 11:
a) 10 min; b) 15 min; c) 25 min.
Úloha 12:
a) 2 hod; b) 3 hod; c) 5 hod
Úloha 13:
a) LCFI je čtverec;
b) LBFH je obdélník;
c) LEFK je také obdélník, všechny tři úhly jsou pravé, jedná se o Thaletovu kružnici.
d) LSB je šestina pravidelného šestiúhelníku LBDFHJ, což je 60°;
e) LSA je polovina úhlu LSB, tedy 30°;
f) LDH je rovnostranný trojúhelník, všechny vnitřní úhly jsou třetinou přímého úhlu, což je 60°.