Prostředí:
Tabulka 0-99
Od procvičování početních operací až k aritmetickým posloupnostem.
Prostředí:
V tabulce 0-99 nebo jí podobných se žáci setkávají s posloupností přirozených čísel. Díky organizaci těchto čísel do čtvercové tabulky, žáci získávají zkušenosti se závislostmi mezi nimi. Někteří žáci používají tabulku především na procvičení početních operací, jiní dojdou k hlubším objevům. Např. při řešení úloh narazí na rovnice, na myšlenku definičního oboru, na aritmetické posloupnosti, na práci s paritou čísel (sudost, lichost), dělitelnost, nebo na kombinatoriku.
S tabulkou 0-99 se začíná pracovat ve druhém ročníku. Tam spíše jako s nástrojem pro sčítání a odčítání. V dalších ročnících se úlohy v tomto prostředí zaměří na zákonitosti a vztahy mezi čísly tabulky.
Dříve než se objeví celá tabulka 0-99, žáci se setkávají s menšími čtvercovými tabulkami.
Úloha 1: Pracuj s tabulkou čísel:
a) Najdi všechna čísla, která můžeš získat součtem dvou sousedních čísel v této tabulce, např. čísla 11 (5 + 6) a 24 (10 + 14) takto získat lze, číslo 2 nikoli.
b) Najdi všechna čísla, která můžeš získat součtem tří sousedních (do obdélníku) čísel v této tabulce. Jsou to např. 12 (0 + 4 + 8) a 30 (9 + 10 + 11). Číslo 31 takto získat nelze.
c) Čtveřice čísel 1, 6, 8, 15 je v tabulce rozmístěna tak, že se v každém sloupci i v každém řádku nachází jedno číslo této čtveřice. Takové čtveřici budeme říkat pěkná. Její součet je 30. Najdi pěknou čtveřici s co nejmenším součtem.
Úloha 2: Pracuj s tabulkou čísel.
Vypiš všechna čísla, která můžeš získat součtem:
a) dvou sousedních čísel v tabulce,
b) tří sousedních (do obdélníku) čísel.
Šestice čísel 1, 8, 17, 18, 28 a 33 je rozmístěna tak, že je v každém sloupci i v každém řádku jedno číslo této šestice. Takové šestici budeme říkat pěkná. Její součet je 105. Najdi pěknou šestici s co nejmenším součtem.
V další úloze se již objevuje celá čtvercová tabulka 0-99. Její název naznačuje, jakým číslem tabulka začíná a končí. V budoucnu se totiž objeví i další tabulky, především tabulka 1-100 (začíná 1, končí 100). Název tabulek se upřesnil, protože se tyto tabulky v praxi často zaměňovaly.
Úloha 3: Kolik je ve stovkové tabulce všech čísel?
a) Kolik je ve stovkové tabulce sudých a kolik lichých čísel?
b) Kolik je ve stovkové tabulce násobků čísla 2?
c) Kolik je ve stovkové tabulce násobků čísla 5?
V tabulkách lze tvořit různé typy úloh. Tato směřuje k evidenci. Žáci nejprve diskutují o tom, co je to sudé a liché číslo, nebo kolik je v tabulce všech čísel. Úlohy b) a c) míří i k dělitelnosti čísel 2 a 5. Často se žáci neshodnou u číslice 0. Někteří tvrdí, že je to sudé číslo, někteří, že sudé být nemůže. Není úplně podstatné toto okamžitě rozhodnout, ale k problému se vracet a žáky vyzývat k argumentaci svých názorů.
V další úloze žáci pracují s výřezem tabulky. Učí se v ní pravidlům, jak se po tabulce pohybují:
a. chodí pouze vodorovným nebo svislým směrem, šikmým směr nelze,
b. nesmí se vracet do již projitého pole.
To je důležité, protože úlohy v tomto prostředí využívají těchto pravidel.
Úloha 4: Cestu v tabulce 0-99 zapíšeme pomocí šipek. Například ve výřezu na obrázku vidíme cestu 11 → 12 → 13 ↓ 23 ↓ 33 ← 32
Součet této cesty je 11 + 12 + 13 + 23 + 33 + 32 = 124.
a) Najdi dvě různé cesty od 13 do 32. Popiš je šipkami.
b) Najdi cestu od 13 do 32, jejíž součet je 90.
Postupně jsou úlohy náročnější. Ta další se oproti předchozí úloze liší v tom, že žáci neznají cestu tabulkou, ale znají součet čísel cesty. K úloze můžeme přidat i podmínku: „Najdi všechny možnosti.“, která zabaví rychlejší žáky.
Úloha 5: Zapiš cesty tvořené třemi čísly.
Součet 6:
Součet 12:
Součet 18:
Součet 24:
Vytvoř další úlohu pro své spolužáky.
Dalším typem úloh propojený s geometrickým prostředím Parkety (pokrýváme podlahu pomocí parket) míří k objevování vztahů a zákonitostí v tabulce.
Úloha 6: Tabulka 0-99
Na tabulku 0-99 budeme pokládat parketu 3I 
.
Kira položila parketu 3I na čísla 2 3 4. Čísla sečetla a výsledek 9 řekla Elmarovi. Elmar bez přemýšlení řekl, že prostřední číslo je 3. Navíc Elmar tvrdí, že rychle dokáže určit i další prostřední čísla, když bude znát součet tří čísel. Víš, jak to dělá?
V úloze na tabulku žáci pokrývají podlahu 3I, která pokryje tři vodorovná (případně tři svislá) čísla v řadě. Pokud žáci vyzkoušejí úlohu pomocí různých pokrytí, často objeví vztah, který je popsán ve výsledcích.
Úloha se dá pojmout jako kouzlo – viz učebnicový text. Kouzla jsou vhodná tím, že podporují vnitřní motivaci žáků. Žáci snahou kouzlo „rozlousknout“ nacházejí vztahy, které kouzlo ukrývá. Ještě náročnější, než princip kouzla objevit, je zdůvodnit, proč to tak vychází. To bývá úloha žáků, kteří podobné „záhady“ rádi řeší.
Předchozí úlohu s tabulkou 0-99 lze spojit i s úlohami „tradičními“ – viz další úloha. Jak spolu úlohy souvisí?
Úloha 7: Součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel je 66. Jaká to jsou čísla?
Podobných úloh s pokrýváním lze vymyslet mnoho, žáci sami často vymýšlejí podobné úlohy a jsou pyšní, pokud objeví nějaký „dobrý“ vztah. Takový je i v další úloze.
Úloha 8:
Do tabulky 0-99 budeme pokládat kříž 
.
Jaký je součet všech pěti čísel?Vyzkoušej různá položení kříže. Vytvoř úlohu pro spolužáky.
Zkušenosti s předchozími úlohami lze využít i při řešení dalších úloh, které míří také ke kombinatorice. Najít všechny cesty, které dávají určitý součet. Dokážete najít všechna řešení další úlohy?
Úloha 9: Najdi cestu se třemi čísly, která má součet:
a) 31:
b) 32:
c) 33:
d) 34:
e) 35:
f) 36:
Úloha 1:
Žáci během řešení úlohy spočítají velké množství úloh na sčítání. Někteří z nich možná objeví nějakou zákonitost – např. v úloze b) součet tří sousedních čísel v řádku je o 3 menší, než součet tří sousedních čísel v řádku posunutých o jedno vpravo (např. 4 + 5 + 6 = 15, 5 + 6 + 7 = 18).
Náročnější výzvou je úloha c). Žáci pravděpodobně objeví souvislost výsledků, náročnější je zdůvodnění, proč tomu tak je. S žáky je možné vrátit se k úlohám z prostředí Sčítací tabulka, kde se tato náročná myšlenka objevuje.
a) v řádcích (1, 3, 5, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 25, 27, 29), ve sloupcích (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26).
b) v řádcích (3, 6, 15, 18, 27, 30, 39, 42), ve sloupcích (12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33).
c) Součet všech pěkných čtveřic je 30.
Čtvercová tabulka se dá pochopitelně dále rozšiřovat. Na to ale již doporučujeme práci ve skupinách, protože výpočtů je velké množství. Žáci se učí spolupráci – jak si rozdělit počítání, jak zaznamenávat výsledky, nebo shrnovat společně závěry.
Úloha 2:
a) v řádcích (1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 45, 49, 51, 53, 55, 57, 61, 63, 65, 67, 69), ve sloupcích (6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64).
b) v řádcích (3, 6, 9, 12, 21, 24, 27, 30, 39, 42, 45, 48, 57, 60, 63, 66, 75, 78, 81, 84, 93, 96, 99, 102), ve sloupcích (18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87).
c) Součty všech pěkných šestic je 105.
Úloha 3:
a) Sudých čísel je stejně jako lichých (50).
b) Násobků 2 je 50 (všechna sudá čísla).
c) Násobků 5 je 20 (čísla dělitelná 5).
Úloha 4:
a) např. 13←12↓22↓32 (součet = 79), 13↓23↓33←32 (součet = 101)
b) 13↓23←22↓32 (součet = 90)
Úloha 5:
Výsledky (nebudeme uvažovat i cesty obráceným směrem): Součet 6 (1 + 2 + 3), Součet 12 (3 + 4 + 5, 0 + 1 + 11), Součet 18 (5 + 6 + 7, 2 + 3 + 13), Součet 24 (1 + 11 + 12, 7 + 8 + 9, 4 + 5 + 15).
Úloha 6:
Součet tří čísel je roven trojnásobku čísla prostředního. Nezávisí na tom, zda je parketa položena svisle nebo vodorovně. Takže, když známe součet tří čísel, stačí ho vydělit třemi a dostaneme prostřední číslo.
To žáci zjistí ze série úloh, které vyřeší a společnou diskuzí. Proč tomu tak je, je pro ně otázka náročnější. Zdůvodnění, které jsme v praxi slyšeli, je např. toto (týká se vodorovného pokrytí): „Mám prostřední číslo. Pak mám číslo o 1 větší a také číslo o 1 menší. Když je dám dohromady, dostanu vlastně tři ta prostřední čísla.“
Úloha 7:
Jsou to čísla 21, 22, 23. Úloha odpovídá předchozí úloze s položením parkety na čísla 21, 22 a 23.
Úloha 8:
Součet všech pěti čísel je roven pětinásobku čísla prostředního.
Úloha 9:
a) 13 → 14 ↑ 4, b) 17 ↑ 7 → 8,
c) dvě řešení s použitím předchozích zkušeností (10 → 11 → 12, 1 ↓ 11 ↓ 21), dvě s použitím parketu růžek (7 → 8 ↓ 18, 4 ↓ 14 → 15), d) 14 → 15 ↑ 5,
e) 18 ↑ 8 → 9,
f) dvě řešení s použitím předchozích zkušeností (11 → 12 → 13, 2 ↓ 12 ↓ 22), dvě řešení s použitím parkety růžek (8 → 9 ↓ 19, 5 ↓ 15 → 16).
Pokračujeme v pokrývání tabulky 0-99 parketami. Žáci již mají zkušenosti s různými vztahy. Pokud úspěšně vyřešili úlohu s křížem , nebude jim asi činit potíže ani úloha s . Obtížnější zákonitost se objeví v další úloze.
Úloha 10: Do tabulky 100 polož parketu 4I 
vodorovně a zjisti její součet. Řekni součet svému spolužákovi. Jeho úkolem je uhodnout, na která políčka v tabulce jsi parketu položil.
K takovým úlohám se můžeme s žáky vrátit i na druhém stupni. Pokud úlohu uchopí algebraicky, mohou v ní objevit další vztahy – např. levé pole označíme a, pak další jsou a + 1, a + 2, a + 3. Jejich součet je 4a + 6. Pokud tedy známe součet, stačí odečíst 4 a výsledek vydělit 4, dostaneme tak levé číslo obdélníku.
Úloha 10:
Vztah je zde náročnější. Žáci možná objeví, že součet prvního a čtvrtého čísla je stejný jakou součet druhého a třetího čísla. Když tedy známe součet všech čtyř, vydělíme ho dvěma a dostaneme součet druhého a třetího čísla (i prvního a čtvrtého).
Úlohy lze zaměřit i na další oblast matematiky – dělitelnost.
Úloha 11: Petr tvrdí, že pro jakoukoliv cestu 
→ → platí, že součet všech čísel cesty je dělitelný třemi. Je to pravda?
V úloze se objevují dvě důležité myšlenky. První myšlenkou je důkaz úlohy. To pro hodně žáků bývá obtížnou disciplínou, žák intuitivně chápe, o co v úloze jde, ale nedokáže tuto zákonitost přesně matematicky dokázat. Druhou myšlenkou je definiční obor. Asi se objeví žák, který řekne: „Když tu cestu začnu na čísle 8, pak jdu na 9, a pak nemám, kam jít.“, má pravdu. Tím vlastně zjistí, že zákonitost platí pro všechna čísla, ale pouze pro ty, pro které cesta v tabulce nekončí mimo ni. V budoucnu se žáci setkají např. s funkcemi, které nejsou definované pro všechna reálná čísla.
Většinou lehčí důkaz, než že něco platí, je důkaz, že něco neplatí. V tom případě stačí najít jeden protipříklad tvrzení.
Úloha 12: Lenka objevila jinou zajímavost ve stovkové tabulce. Sčítala vždy tři čísla cesty ←↑. Zjistila, že součet tří čísel je dělitelný šesti. Ukázala to na třech trojicích, které začínaly čísly: 12, 28 a 74.
Má Lenka pravdu?
Tomáš řekl: Našel jsem ale cestu, pro kterou to neplatí. Je to možné?
Přicházejí i úlohy, které se zaměřují na aritmetické posloupnosti a jejich součty.
Úloha 13: Spočítej:
a) součet každého řádku tabulky
b) součet každého sloupce tabulky
c) součet všech čísel tabulky
Úkolem žáků je postupně dělat součty čísel aritmetické posloupnosti: 0 + 1 + 2 + … + 7 + 8 + 9, 10 + 11 + 12 + … + 17 + 18 + 19, atd.
Úloha 11:
Když levé číslo označím x, další čísla jsou x + 1 a x + 2. Jejich součet je 3x + 6, po vytknutí 3 dostaneme 3 · (x + 2). Takový číselný výraz (po dosazení za x) bude vždy dělitelný třemi, pokud bereme v úvahu definiční obor – viz text výše.
Úloha 12:
Neplatí to pro všechny cesty, jejichž první (levé) číslo je liché (např. 11 ← 10 ↑ 1).
Úloha 13:
a) řádky (součet se vždy zvětšuje o 100 oproti předchozímu): 45, 145, 245, 345, 445, 545, 645, 745, 845, 945.
b) sloupce (součet se vždy zvětšuje o 10 oproti předchozímu): 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540.
c) Součet všech čísel tabulky je 5050. Lze ho zjistit např. součtem všech sloupců, nebo součtem všech řádků z předchozích úloh.
Pozn. To jak sečíst řadu čísel 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 ukázal velký matematik Gauss (18. – 19. století). Postupně spojoval první a poslední čísla, čili 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,… Zjistil, že vytvoří samé 101 a že jich bude přesně 50. Z toho velice rychle dokázal určit součet 5050 = 50 · 101.
Na druhém stupni se již žáci setkávají i s abstraktními zápisy. Cílem je práce s proměnnou a také vznik takové potřeby. K tomu žáky vede zvyšující se náročnost úloh. Mezi takové úlohy patří série čtyř dalších úloh.
Úloha 14:
Najděte číslo y, pro které:
a) S(y↓) = 12
b) S(y←) = 99
c) S(y↑) = 100
d) S(y→) = 64.
V úloze žáci začínají používat písmena k tomu, aby úlohu uchopili. Např. v úloze a) číslo pod y lze zapsat ve tvaru y + 10. Jejich součet je tedy 2y + 10 = 12, odkud y = 1.
Úloha 15:
Zjistěte hodnotu výrazu S(n↓) − S(n↑) pro n = 41, 42, 43, 44, 52 a 76.
Úloha 16:
Najděte n tak, aby:
a) číslo S(n→) − S(n↑) bylo co největší
b) číslo S(n↓) − S(n→) bylo co nejmenší.
Úloha 17:
Najděte všechna n, pro která dává číslo S(n→→) zbytek 1 po dělení 3.
Úloha 14:
a) y = 1,
b) nemá řešení (y by muselo být 50),
c) y = 55,
d) nemá řešení
Úloha 15:
Žáci zjistí, že nezáleží, jaké číslo místo písmene n dosadí. Vyjde vždy 20. To lze dokázat opět pomocí použití proměnné: (n + n + 10) – (n +n - 10) = 2n + 10 – 2n + 10 = 20.
Úloha 16:
(pokud je výraz ze zadání definován, tedy při cestě neopustíme tabulku:
a) Žáci opět zjišťují, že vždy vychází 11 pro jakékoliv n z tabulky.
b) Žáci opět zjišťují, že vždy vychází 9 pro jakékoliv n z tabulky.
Úloha 17:
Hledáme vlastně součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel, jejichž součet dává po dělení třemi zbytek 1. Ale součet všech takových čísel je dělitelný třemi, proto nemůžeme dostat zbytek 1 nikdy.